Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Załóżmy, że \((X,d)\) jest przestrzenią metryczną, \(f \colon X \to X\) jest funkcją.
Definicja. Punkt stały odwzorowania \(f\) to taki \(x \in X\), że \(f(x)=x\).
Definicja. Odwzorowanie zwężające (kontrakcja) to takie \(f\) ze stałą \(\beta \in \langle 0,1)\), że dla każdych punktów \(x_1,x_2 \colon \ d(f(x_1),f(x_2)) \leq \beta \cdot d(x_1,x_2)\).
Przykład. \(\sqrt x\) jako funkcja \( \langle1,\infty) \to \langle1,\infty) \) jest odwzorowaniem zwężającym.
Twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Każde odwzorowanie zwężające przestrzeni zupełnej ma dokładnie 1 punkt stały. Dla dowolnego elementu ze zbioru \(X\) ciąg iteracji \(x_1=f(x), \ x_2=f(x_1), \ \ldots , \ x_n=f(x_{n-1})=f^n(x)\) jest zbieżny do punktu stałego \(x^*\), tzn. \(\lim d(x^*,x_n)=0\).
Przykład. Punktem stałym \(\sqrt x\) jest \(x=1\), bo \(\sqrt 1 =1\). Zatem jeśli wykonamy złożenie \(\underbrace{\sqrt x \circ \sqrt x \circ \ldots \circ \sqrt x}_n\), to przy \(n \to \infty\) takie złożenie da w wyniku \(1\) dla każdego \(x\)! Przykładowo, 7-krotne złożenie i wzięcie \(x=2\) daje wynik \( \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}} \approx 1.005429901 \approx 1\). Dla \(x=100\) zbieżność nie jest wiele wolniejsza. \( \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{100}}}}}}} \approx 1.03\).
Wzór Taylora
Jeśli funkcja jest \(n\)-krotnie różniczkowalna na przedziale \((\alpha,\beta)\), to wzór Taylora pozwala przybliżać wartości funkcji w tym przedziale wielomianem. Oznacza to tyle, że możemy na prostym kalkulatorze (a nawet na kartce) policzyć sinus lub pierwiastek mniej znanej wartości. Jeśli \(a,b \in (\alpha,\beta)\), to \[f(b) \approx f(a)+\frac{f'(a)(b-a)^1}{1!}+\frac{f''(a)(b-a)^2}{2!}+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)(b-a)^n}{n!} \] dla każdego \(n\) (z mniejszym lub większym przybliżeniem).
Przykład. Zastanawialiście się kiedyś jak w postaci ułamka dziesiętnego wygląda \(2^{2.1}\)? Ja też nie. Zaraz dowiemy się ile to mniej-więcej jest. Użyjemy do tego oczywiście wzoru Taylora. Ustalmy co jest co. Naszą funkcją będzie \(f(x)=2^{x}\), natomiast punkt, w którym nas interesuje wartość to \(b=2.1\), a przybliżać będziemy z użyciem wiedzy takiej, że \(2^2=4\), więc nasz drugi punkt to \(a=2\). Wspomagając się Wolframem Alpha, możemy obliczyć, że \(b-a=2.1-2=0.1\). Nasze \(n\) będzie wynosiło \(4\) (bo tak właśnie wymyśliłem), więc musimy podnieść naszą różnicę do czterech potęg. Zróbmy to: \[ 0.1^1=0.1 \\ 0.1^2=0.01 \\ 0.1^3=0.001 \\ 0.1^4=0.0001 \] Uff. Trochę czasu to zajęło, ale udało się. Czego nam do wzoru Taylora brakuje? Spójrzmy. Wygląda na to, że czterech pochodnych funkcji \(2^x\). Najwyższy czas je policzyć: \[ \left(2^x\right)'=2^x \cdot \ln2 \\ \left(2^x\right)'' = 2^x \cdot \left(\ln2\right)^2 \\ \left(2^x\right)''' = 2^x \cdot \left(\ln2\right)^3 \\ \left(2^x\right)^{(IV)} = 2^x \cdot \left(\ln2\right)^4 \] Jaki stąd wniosek? Że nie zrobimy tego bez kalkulatora, który policzy nam najpierw logarytmy... Zatem nie dla każdej funkcji przybliżanie wygląda kolorowo. Swoją drogą, \(\ln2\) też można przybliżyć wielomianem Taylora ;) Jak już to zrobimy (lub policzymy na kalkulatorze), to dowiemy się, że \[ \ln2 \approx 0.69 \\ \left(\ln2\right)^2 \approx 0.48\\ \left(\ln2\right)^3 \approx 0.33\\ \left(\ln2\right)^4 \approx 0.23 \] Jesteśmy gotowi. Napiszmy więc: \[ 2^{2.1}=f(b) \approx 4+\frac{4 \cdot 0.69 \cdot 0.1}{1!}+\frac{4 \cdot 0.48 \cdot 0.01}{2!}+\frac{4 \cdot 0.33 \cdot 0.001}{3!}+\frac{4 \cdot 0.23 \cdot 0.0001}{4!}= \\ =4+\frac{2.76 \cdot 0.1}{1}+\frac{1.92 \cdot 0.01}{2}+\frac{1.32 \cdot 0.001}{6}+\frac{0.92 \cdot 0.0001}{24} \approx \\ \approx 4+0.276+0.0096+0.00022+0.0000038=4.2858238 \] A jaka jest faktyczna wartość? \(2^{2.1} \approx 4.287093\). Dość słabo to przybliżyliśmy. Następnym razem życzę wam funkcji z łatwo obliczalnymi pochodnymi.
Twierdzenie Darboux
Jeśli funkcja \(f \colon \langle a,b\rangle \to \mathbb{R}\) jest ciągła i \(f(a),f(b)\) są różnych znaków, to istnieje taki punkt \(c\) pomiędzy \(a\) i \(b\), że \(f(c)=0\).
Niesamowite twierdzenie. Dlaczego je lubię? Bo pokazuje, że można powiedzieć coś oczywistego i być zapamiętanym na wieki.