Granica \(\lim \sqrt[n]{n}\)
Skorzystamy z nierówności pomiędzy średnimi:
\[ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geqslant
\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n}
\]
Odkrycie tej nierówności przypisuje się Cauchy'emu (jak odkrycie większości rzeczy w analizie). Mam nadzieję, że nie ma wątpliwości, że \(\sqrt[n]{n} \geqslant 1\). Pokażemy, że \(1 \geqslant \sqrt[n]{n}\). Zapiszmy \(n\) w taki sposób:
\[ n = \sqrt{n}\cdot\sqrt{n}\cdot \underbrace{1\cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{n-2}
\]
A teraz użyjmy naszej, a właściwie Cauchy'ego, nierówności:
\[ 1 \leqslant \sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}\cdot 1\cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1} \leqslant \frac{\sqrt n + \sqrt n + 1 + 1 + \ldots + 1}{n} =\\
=\frac{2\sqrt n + (n-2) \cdot 1}{n}=\frac{2 \sqrt n}{n}+\frac{n-2}{n}=\frac{2}{\sqrt n}+1-\frac{2}{n}
\]
Jaka jest granica tego wyrażenia? Jak łatwo wyliczyć, \(1\). Skorzystajmy teraz z twierdzenia o trzech ciągach i wyznaczmy granicę \(\sqrt[n]n\).
\[ 1 \leftarrow 1 \leqslant \sqrt[n]{n} \leqslant \left(\frac{2}{\sqrt n}+1-\frac{2}{n}\right) \to 1 \\
\sqrt[n]{n} \to 1 \\
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]n = 1
\]
Granica \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)
Jedna z moich ulubionych granic. Na pewno nie tylko moich ;) Na dobry początek zauważmy, że \(f(x)=\frac{\sin x}{x}=\frac{-\sin (-x)}{x}=\frac{\sin (-x)}{-x}=f(-x)\), czyli mamy do czynienia z funkcją parzystą. Oznacza to tyle, że jeśli granica prawostronna istnieje, to jest równa lewostronnej.
Rozpatrzymy tylko prawostronną, czyli zajmiemy się wartościami funkcji takimi, które są niewiele większe od zera. Czy \(\frac \pi 2\) jest niewiele większe od zera? W perspektywie nieskończoności płaszczyzny, jest to niewiele. Skorzystamy z nierówności, która działa dla \(x \in \left( 0, \frac{\pi}{2}\right)\):
\[ \sin x \leqslant x \leqslant \mbox{tg}\, x \\
\sin x \leqslant x \leqslant \frac{\sin x}{\cos x}
\]
Sinus na rozpatrywanym przedziale nie osiąga zera (zbliżamy się do niego coraz bardziej, ale nigdy go nie osiągniemy), więc można przez niego podzielić. Zróbmy to, a następnie weźmy odwrotności otrzymanych funkcji.
\[ \sin x \leqslant x \leqslant \frac{\sin x}{\cos x} \\
1 \leqslant \frac{x}{\sin x} \leqslant \frac{1}{\cos x} \\
1 \geqslant \frac{\sin x}{x} \geqslant \cos x
\]
Skorzystajmy z twierdzenia o trzech funkcjach.
\[ \lim_{x \to 0}1 \geqslant \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \geqslant \lim_{x \to 0} \cos x \\
1 \geqslant \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \geqslant 1 \\
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1
\]
<< Poprzednie ulubione dowody | |
Kolejne ulubione dowody >>