Przedstawiam niesamowity, bardzo obszerny zbiór całek, przygotowany przez dwóch użytkowników forum Matematyka.pl. Jeśli masz problem z jakąś całką, prawdopodobnie znajdziesz podobną w tym pliku. Ja natomiast poniżej zostawiam pewną ilość bardziej ogólnych przykładów.
Uważam, że na pamięć nie warto się uczyć zbyt wielu rzeczy, ale te dwa wzory polecam każdemu (oczywiście wzory na pochodne są obowiązkowe!). Nie ma co ich kuć, ja ich często nie pamiętam, ale jak przypomnę sobie skąd pochodzą, to po chwili się przypominają. Dlatego zapodaję je wraz z wyprowadzeniem.
\[ \frac{1}{n+1}f^{n+1}(x) + C = \int \left(\frac{1}{n+1}f^{n+1}(x)\right)' \, dx = \int \frac{1}{n+1} \cdot (n+1) \cdot f^{n}(x) \cdot f'(x) \, dx = \\ = \int f^{n}(x) \cdot f'(x) \, dx \\ \underline{\color{red}{\int f^{n}(x) \cdot f'(x) \, dx = \frac{1}{n+1}f^{n+1}(x) + C}} \\ \\ \ln f(x) + C = \int \left(\ln f(x)\right)' \, dx = \int \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) \, dx = \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx \\ \underline{\color{red}{\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln f(x) + C}} \]Logarytm naturalny, arcus sinus, arcus tangens:
\[ \int \ln x \, dx = \int (x)' \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - x + C \]
Funkcje ze stałą w liczniku, z \(a+bx^2\) w mianowniku, \(a-bx^2\) pod pierwiastkiem w mianowniku:
\[ \int \frac{1}{\sqrt{16-5x^2}} \, dx = \int \frac{dx}{\sqrt{16 \left(1-\frac{5x^2}{16}\right)}}= \int \frac{dx}{4 \cdot \sqrt{1-\left(\frac{\sqrt 5}{4} x\right)^2}} \\ t=\frac{\sqrt 5}{4} x \]Pierwiastek pod pierwiastkiem:
\[ \int \sqrt{1+\sqrt x} \, dx \\ t=\sqrt x \\ t^2=x \\ x'(t)=2t \\ \int \sqrt{1+t} \cdot 2t \, dt \\ k=\sqrt{1+t} \\ k^2=1+t \\ k^2-1=t \\ t'(k)=2k \\ \int k \cdot 2k^2 \cdot 2k \, dk = \int 4k^4 \, dk \]Cosinus i sinus do potęgi \(n>2\):
\[ I=\int \cos^n x \, dx = \int \cos x \cdot \cos^{n-1} x\, dx = \int (\sin x)' \cos^{n-1}x \, dx = \\ = \sin x \cos^{n-1}x - \int \sin x \cdot (n-1) \cos^{n-2} x \cdot (-\sin x) \, dx = \\ = \sin x \cos^{n-1}x + (n-1 )\int \sin^2 x \cdot \cos^{n-2} x \, dx = \\ = \sin x \cos^{n-1}x + (n-1 )\int (1-\cos^2 x) \cdot \cos^{n-2} x \, dx = \\ = \sin x \cos^{n-1}x + (n-1 ) \int \cos^{n-2} x - \cos^n x \, dx = \\ = \sin x \cos^{n-1}x + (n-1 ) \int \cos^{n-2} x \, dx - (n-1) \cdot I \\ I+(n-1)I = \sin x \cos^{n-1}x + (n-1 ) \int \cos^{n-2} x \, dx \\ I(1+n-1) = \sin x \cos^{n-1}x + (n-1 ) \int \cos^{n-2} x \, dx \\ I = \frac{1}{n} \sin x \cos^{n-1}x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \, dx \]Swoimi prawami rządzą się funkcje trygonometryczne podniesione do potęgi \(1,2\):
\[ \int \cos x \, dx = -\sin x + C \\ I=\int \cos^2 x \, dx = \int (\sin x)' \cos x \, dx=\sin x \cos x- \int \sin x (-sin x) \, dx=\\ = \sin x \cos x + \int \sin^2x \, dx = \sin x \cos x + \int (1-\cos^2 x) \, dx = \\ = \sin x \cos x + \int 1 \, dx - \int \cos^2 x \, dx = \sin x \cos x + x + C - I \\ 2I=\sin x \cos x + x + C \\ I=\frac{1}{2}(\sin x \cos x + x + C) \]Całka z półkola:
\[ \int \sqrt{1-x^2} \, dx \\ \sin t = x \\ x'(t) = \cos t \\ \int \sqrt{1-\sin^2 t} \cdot \cos t \, dt, = \int |\cos t| \cos t \, dt = \\ = \begin{cases} \int \cos^2 t \, dt, & \cos t \geqslant 0 \\ -\int \cos^2 t \, dt & \cos t < 0\end{cases} \]Te całki wiemy jak policzyć, bo jest to napisane przykład wyżej. Pójdźmy jeszcze dalej: arcus sinus z pierwiastka:
\[ \int \arcsin \sqrt x \, dx = \int (x)' \arcsin \sqrt x \, dx = x \arcsin \sqrt x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt x} \, dx = \\ = x \arcsin \sqrt x - \int \frac{x \, dx}{2 \sqrt x \sqrt{1-x}} \]Bez podstawienia bym tego nie rozwiązywał. No to podstawmy.
\[ t=\sqrt{1-x} \implies t^2=1-x \implies x=1-t^2 \implies x'(t)=-2t \\ x \arcsin \sqrt x - \int \frac{(1-t^2)(-2t)}{2 \sqrt{1-t^2} \cdot t} \, dt = x \arcsin \sqrt x - \int \frac{1-t^2}{\sqrt{1-t^2}} \, dt =\\ =x \arcsin \sqrt x - \int \sqrt{1-t^2} \, dt \]Tę całkę wiemy jak policzyć, bo jest to napisane przykład wyżej. Jak liczyć całki w stylu wielomian pomnożony przez logarytm, funkcję wykładniczą, trygonometryczną lub cyklometryczną? Pewnie przez części. Przykład:
\[ \int x \ln^2 x \, dx \]
Tylko jak przez części? A tak, że najpierw obliczymy całkę z \(\ln^2 x\). A ją obliczymy przez części:
\[ \int \ln^2 x \, dx = \int (x)' \ln^2 x \, dx = \ldots =x\ln^2 x -2x \ln x + 2x \]To wróćmy teraz z nową wiedzą do naszego przykładu.
\[ I = \int x \ln^2 x \, dx = \int x (x\ln^2 x -2x \ln x + 2x)' \, dx = \\ = x(x\ln^2 x -2x \ln x + 2x)-\int x\ln^2 x -2x \ln x + 2x \, dx = \\ = x(x\ln^2 x -2x \ln x + 2x)-\left(\int x\ln^2 x \, dx - 2\int x \ln x \, dx + 2 \int x \, dx \right) = \\ = x(x\ln^2 x -2x \ln x + 2x)- I + 2\int x \ln x \, dx - 2 \int x \, dx \\ 2I=x(x\ln^2 x -2x \ln x + 2x) + 2\int x \ln x \, dx - 2 \int x \, dx \\ I=\frac 12 x(x\ln^2 x -2x \ln x + 2x) + \int x \ln x \, dx - \int x \, dx \]
Jak widać, jest to do obliczenia. Ciekawostką jest to, że na logarytm jest akurat lepszy sposób.
\[ \int x \ln^2 x \, dx = \int \left(\frac 12 x^2\right)' \ln^2 x \, dx = \frac 12 x^2 \cdot \ln^2 x - \int \frac 12 x^2 \cdot 2 \ln x \cdot \frac 1x \, dx = \\ = \frac 12 x^2 \cdot \ln^2 x - \int x \ln x \, dx = \frac 12 x^2 \cdot \ln^2 x - \int \left(\frac 12 x^2 \right)' \ln x \, dx = \\ = \frac 12 x^2 \cdot \ln^2 x - \left( \frac 12 x^2 \cdot \ln x - \int \frac 12 x^2 \cdot \frac 1x \, dx \right) = \\ = \frac 12 x^2 \cdot \ln^2 x - \frac 12 x^2 \cdot \ln x + \frac 12 \int x \, dx \]Krótko i na temat.
LIATE i ILATE to właściwie to samo. Jest to zasada w temacie całkowania przez części, zaproponowana przez Herberta Kasube. Mówi ona o tym, którą funkcję należy najpierw zróżniczkować, natomiast z tej drugiej policzyć całkę, gdy mamy iloczyn dwóch funkcji. Reguła używa angielskich nazw, więc uwaga: I - inverse trigonometric functions - funkcje odwrotne do trygonometrycznych (czyli cyklometryczne), np. \(\arcsin x\). L - logarithmic functions - funkcje logarytmiczne, np. \(\log_2 x\). A - algebraic functions - wielomiany, np. \(6x^7\). T - trigonometric functions - funkcje trygonometryczne, np. \(\mbox{tg} \, x\). E - exponential functions - funkcje wykładnicze (m.in. eksponencjalna), np. \(8^x\).
Jak widać, dobra polska na tę regułę to CLWTW, czyli lepiej pamiętać angielską. Dobra, weźmy jakiś piękny przykład na użycie tej reguły. Mamy funkcje: wielomian i wykładniczą. Zgodnie z regułą, najpierw należy zróżniczkować wielomian, a scałkować wykładniczą. No to jedziemy:
\[ \int x \cdot e^x \, dx \\ \int e^x \, dx = e^x+C \\ \int x \cdot e^x \, dx = \int x \cdot \left(e^x\right)' \, dx = xe^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x + C \]Można wierzyć, można nie wierzyć, ale działając przez części odwrotnie, do wyniku nie dojdzie się w ogóle.
Reguła LIATE jest ogólnie lubiana, ale uważajmy. Nieraz warto zagrać wbrew niej - przykładem jest liczona chwilę temu \(\int x \ln^2 x \, dx\).
\(\int\frac{1}{(3+\sin{x})\cos{x}} \, dx=\int \frac{\cos x}{(3+\sin x)\cos^2 x} \, dx=\int \frac{\cos x}{(3+\sin x)(1-\sin ^2x)} \, dx \) - podstawienie \(t= \sin x\), a następnie rozkład \(\int \frac{dt}{(3+t)(1-t^2)}\)na ułamki proste.
\(\int x\sqrt{a+x} \, dx\) - przez części (różniczkujemy \(x\)). Potem w \(\int (a+x)^{3/2} \, dx\) podstawienie \(t=a+x\) (lub od razu podanie wyniku, jeśli go widzisz). Uwaga! Istotną rolę odgrywa tu \(x\) pod pierwiastkiem, który jest w pierwszej potędze.
\(\int \sqrt{e^x-1} \, dx\) - podstawienie \(t=\sqrt{e^x-1}\). Potem w \(\int \frac{t}{t^2+1}=\frac 12 \int \frac{2t}{t^2+1}\) korzystamy ze wzoru podanego na samej górze strony.
\(\int \sqrt{1+x^2} \, dx\) - podstawienie \(x=\sinh t\), skorzystanie z tego, że \(\cosh^2 x -\sinh^2 x = 1\) i z definicji \(\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}\) (zauważmy, że jest zawsze dodatni).